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数学史上的三次危机           ★★★
数学史上的三次危机
作者：程俊杰 文章来源：人教课标（A）高二文科版·总第14期 点击数：354 更新时间：2007-6-16 9:38:35
经济上有危机，历史上数学也有三次危机.

第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊，是由于希伯索斯提出了无理数的概念而引发的.当时毕达哥拉斯认为数只有整数，宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数之比，而希伯索斯却根据勾股定理发现边长为1的正方形的对角线的长度既不是整数，也不是整数之比所能表示的.这一发现严重地冲击了希腊人的传统认识，最后通过在几何学中引进不可约量的概念才得到解决.

第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础的问题，数学界出现了混乱的局面.微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，用无穷小量作分母进行除法，说明无穷小量不是零；又在下一步运算中把无穷小量看作零，而去掉了包含无穷小量的项，从而得到要求的公式.这在力学和几何学的证明中是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾，矛盾的焦点是，无穷小量是零还是非零.直到19世纪，柯西详细而又系统地发展了极限理论，认为把无穷小量作为确定的量，是要怎样小就怎样小的量，至此澄清了前人的无穷小的概念，把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机才基本解决.

第三次数学危机，发生在19世纪末，是对集合的一次争论.当时英国数学家罗素把集合分成两种，第一种是集合本身不是它的元素；第二种是集合本身是它的一个元素，例如，一切集合所组成的集合.这样对于任何一个集合，它不是第一种集合就是第二种集合.假设第一种集合的全体构成一个集合M，如果M是第一种集合，则有M∈M，这样就和M是第一种集合矛盾.如果M是第二种集合，即M∈M，则和假设M是第一种集合矛盾.这个推理过程所产生的矛盾叫做罗素悖论，它形成了数学史上更大的危机，从此，数学家们就开始为这场危机寻找各种解决的办法.首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出了七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统，这场危机至此缓和了下来.

数学危机给数学的发展带来了新的动力，三次数学危机之后，数学领域都有更好的发现，数学基础的进步也更快，数理逻辑也更加成熟.
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