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为什么“0”不能作除数           ★★★
为什么“0”不能作除数
作者：河北省沧… 文章来源：小学教师版07—08学年度上学期第7期 点击数：381 更新时间：2007-12-7 10:08:53
    在教育部制定的《全日制义务教育数学课程标准》中写到：关于乘法，3个5，可以写作3 × 5，也可以写作5 × 3，3 × 5读作3乘5，3和5都是因数.

    如此处理，是从乘法计算的角度不再区分传统意义上的被乘数和乘数，使问题简化，但这将给乘法意义及其应用带来麻烦.依此规定，因数可以是相同加数（传统意义上的被乘数），也可以是相同加数的个数（传统意义上的乘数）.   

    根据积a × b的定义，当a = 0时，b个0相加，结果0唯一存在，所以0可作a .根据积a × b的补充定义，当b = 0时，定义a × b = a × 0 = 0，这一结果也唯一存在，所以0可作b.

    为什么0不能作除数呢？我们先来看除法的定义：已知数a、b（b ≠ 0），求一个数q，使b × q = a ，这种运算叫除法，记作a ÷ b = q，其中a、b、q分别叫被除数、除数和商.

    为什么b ≠ 0呢？这是因为如果b = 0，那么

    （1）当a = 0 时，任何数乘0都等于0，此时商q 可以取任意数，即不确定，这不符合四则运算结果唯一性的规定；

    （2）当a ≠ 0时，因为任何数乘0都等于0而不等于a ，此时商q不存在.

    因此，在除法运算中规定“0不能作除数”.

    此外，从另一个角度讲，因为除法是乘法的逆运算，乘法是用同数连加来定义的，所以除法也可以用同数连减来求商，其中，被除数作为被减数，除数作为相同的减数，连减的最多次数就是商，最后的差就是余数（余数可能是0）.即 a - b = a - （ b + b + … + b ） =a - b - b - … - b = r.

    如果b = 0，那么

    （1）当a = 0 时，因为a - 0 = 0 - 0 = 0，a - 0 - 0 = 0 - 0 - 0 = 0， … ，a - 0 = 0 - 0 - … - 0，此时a减去任意有限个0都等于0，即此时商q 可以取任意有限数，即商不确定；

    （2） 当a ≠ 0时，因为a - 0 - 0 - … - 0 = a ≠ 0，即a 减任意有限个0所得差（余数）都不小于a，也都不等于0 ，即此时商q不存在.

    所以从这一角度讲0也不能作除数.
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